.RU

Методическая разработка лекции на тему: “Элементы дифференциального и интегрального исчисления”


Методическая разработка лекции на тему:

“Элементы дифференциального и интегрального исчисления”



Знать методы дифференциального и интегрального исчисления, таблицы производных и интегралов, дифференцировать сложную функцию. Уметь вычислять неопределенный и определенный интегралы, использовать методы интегрирования.
План лекції

  1. Производная функции

  2. Механический смысл первой производной

  3. Производная высших порядков.

  4. Производная сложной функции.

  5. Дифференциал функции.

  6. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

  7. Методы интегрирования.

  8. Определенный интеграл.



^ 1. Дифференциальное исчисление Производная функции
Определение:

Предел отношения приращения функции y к приращению переменной x, когда x стремится к нулю, называется производной функции y по x.

Производная функции обозначается или.



Процесс вычисления производной называется дифференцированием.
^ Таблица производных элементарных функций

y(x)

y'(x)




y(x)

y'(x)




y(x)

y'(x)



































































































^ Правила вычисления производных

  1. Производная любой постоянной величины равна нулю.

Обычно постоянную величину обозначаем символом с.



  1. Постоянная величина с выносится за производную без изменений



Здесь u – функция, с – постоянная.

  1. Производная суммы функции равна сумме производных.

Здесь и далее две функции обозначаем символами u, v.



  1. Производная произведения двух функций равна сумме

произведения второй функции на производную первой функции

и произведения первой функции на производную второй функции.



  1. Производная дроби равна производной числителя умноженной на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя, разделить на квадрат знаменателя.
^ Механический смысл первой производной
В механике положение движущегося объекта можно задать функцией s=s(t). Здесь t – время, независимая переменная, s – перемещение (путь), функция времени.

Равноускоренное движение описывается таким уравнением

.

Первая производная S no t равна . В механике эта формула скорости равноускоренного движения т.е. – есть мгновенная скорость тела в момент времени t.

По определению, мгновенная скорость – это предел отношения пути по времени, когда отрезок времени стремится к нулю



Первая часть этого равенства соответствует производной от S по t. Значит мгновенная скорость есть производная от перемещения по времени. В этом и заключается механический смысл первой производной.

Итак, механический смысл первой производной состоит в том, что первая производная от перемещения по времени есть мгновенная скорость. Часто говорят, что в этом заключается физический смысл первой производной, однако, это не совсем так. В физике есть много других примеров.

  1. Сила есть первая производная импульса

  2. Теплоемкость тела есть первая производная от количества теплоты Q, поглощенного телом, по температуре Т.

  3. Сила тока есть первая производная от величины заряда q, прошедшего через поперечное сечение проводника по времени t:

.
^ Производная высших порядков.
Для того чтобы найти вторую производную функции необходимо найти производную от первой производной

.

Чтобы найти третью производную, мы находим производную от второй производной. Чтобы найти ”n”-ую производную, необходимо найти производную от “n-1”-ой производной.

.

Пример:


^ Производная сложной функции.
Пусть задана функция . Но теперь u не будет независимой переменной. Пусть u – другая функция

Из двух этих функций составим одну сложную функцию

Например , тогда

Если , тогда

Если у каждая из функций есть производная, значит есть производная и у сложной функции.

Производная сложной функции по x равна произведению производной функции по промежуточной переменной u на производную промежуточной переменной по независимой переменной x:

^ Дифференциал функции.
С понятием производной связано другое важное понятие – дифференциал функции.

Пусть – функция, имеющая производную .

Из определения предела функции следует

или ,

где - величины бесконечно малые.

.

Сравним и . Оказывается всегда значительно меньше чем (это называется «величина более высокого порядка малости»). Поэтому будет главной частью приращения функции.

Это слагаемое линейно относительно и называется дифференциалом функции и обозначается или .

Таким образом , и так как – дифференциал независимой переменной равен её приращению, получаем



Дифференциал функции – это главная часть приращения функции, равная произведению её производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной.


^  Интегральное исчисление Первообразная функция
В первом разделе мы занимались дифференцированием – решали задачу как по данной функции найти её производную. Теперь перейдем к обратной задаче: нахождение функции по известному значению её производной.

Определение. Первообразной от функции называется функция , производная которой равна данной функции

.

Например, для функции первообразной будет функция . Но есть и другие первообразные, например также есть первообразная для . Все такие первообразные можно записать одним выражением , где – произвольная постоянная. Таким образом, данная функция имеет множество первообразных, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
^ Неопределенный интеграл и его свойства
Совокупность всех первообразных функций, отличающихся на произвольную постоянную, называется интегралом.

.

Функция называется подынтегральной функцией, выражение – подынтегральное выражение, х – переменной интегрирования.

Запишем свойства неопределенного интеграла

1) производная интеграла равна подынтегральной функции

2) дифференциал интеграла равен подынтегральному выражению

3) интеграл от производной или от дифференциала равен функции, сложенной с неопределенной постоянной.
^ Таблица интегралов
Таблица интегралов, прямо следует из таблицы производных элементарных функций.

1) ; 6) ;

2); 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .
^ Правила интегрирования
1) Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций.

.

2) Постоянный множитель подынтегральной функции можно вывести за знак интеграла

.

3) Всякая форма интегрирования остается инвариантной (сохраняет свой вид) при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от неё





.

Последнее правило интегрирования позволяет производить интегрирование методом подстановки.
^ Методы интегрирования. Метод подстановки
Идея метода состоит в том, что нужно выполнить замену переменной (найти такую подстановку), чтобы привести не табличный интеграл к табличному виду.

Примеры

1) Этого интеграла в таблице нет. Там есть похожий интеграл , который при n=1/2 выглядит так: .Чтобы перейти к такому интегралу, введем замену переменной t=.

Теперь необходимо выразить дифференциал исходной переменной через дифференциал новой переменной

; ; .

После этого производим подстановку и находим интеграл



2) ; замена ; ; .



3) .

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Значение определенного интеграла равно разности значений первообразных от подынтегральной функции, при верхнем и нижнем пределе интегрирования.

.

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования:

Пример:.

Лекция составлена доц. Ивановой О.И.

kurs-kulturologiya.html
kurs-kust-3-smotret-v-centr-slova-a-chitat-vsyo-slovo-soksvetiv-a.html
kurs-lekcii-dlya-rukovoditelej-i-specialistov-sluzhb-ohrani-truda.html
kurs-lekcij-2-e-izdanie-ispravlennoe-i-dopolnennoe-kakaya-polza-cheloveku-esli-on-priobretet-ves-mir-a-dushe-svoej-povredit-evangelie-ot-matfeya-xvi-26-alma-mater.html
kurs-lekcij-3-e-izdanie-dopolnennoe-minsk-2005-udk-519-21.html
kurs-lekcij-4-e-izdanie-stereotipnoe-minsk-2006-udk-620-9076-6.html
  • predmet.bystrickaya.ru/s-m-lvovskij-predvaritelnaya-rabochaya-versiya-stranica-16.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-razvitiya-gosudarstvennogo-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-srednej-obsheobrazovatelnoj-shkoli-336-nevskogo-rajona-sankt-peterburga-na-2011-2015-godi-stranica-4.html
  • report.bystrickaya.ru/internet-resursi-gosduma-rf-monitoring-smi-28-fevralya-2008-g.html
  • shkola.bystrickaya.ru/sovremennie-metodi-issledovaniya-serdechno-sosudistoj-sistemi-i-fizicheskoj-rabotosposobnosti-u-sportsmenov-i-fizkulturnikov.html
  • studies.bystrickaya.ru/glava-12-prikosnis-ko-tme-karen-chens.html
  • bukva.bystrickaya.ru/o-roli-zakazchika-v-organizacii-stroitelnogo-processa-na-rusi-v-xvii-v-chast-2.html
  • crib.bystrickaya.ru/izveshenie-o-provedenii-zaprosa-kotirovok-dlya-subektov-malogo-predprinimatelstva.html
  • lesson.bystrickaya.ru/mou-sosh-35-stanici-novominskoj-kanevskogo-rajona-v-2009-2010-uchebnom-godu.html
  • exam.bystrickaya.ru/v-gorah-uzbekistana-svyashennik-gregor-prihodko-novosti-41.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tematicheskij-plan-lekcij-po-vnutrennim-boleznyam-i-vpt-na-kafedre-gospitalnoj-terapii-dlya-rossijskih-studentov-5-kursa-lechebnogo-fakulteta.html
  • write.bystrickaya.ru/evrei-rossii-antisemitizm.html
  • control.bystrickaya.ru/beloe-more-kniga-znakomit-chitatelej-s-osobennostyami-morskoj-ribalki-prakticheski-vo-vseh-bassejnah-nashej-strani.html
  • occupation.bystrickaya.ru/na-skolko-dorozhaet-cement-stranica-5.html
  • exam.bystrickaya.ru/vibor-ekonomicheski-vigodnogo-varianta-energosnabzheniya-potrebitelej.html
  • tasks.bystrickaya.ru/12-duhovno-nravstvennie-cennosti-molodezhi-kompleksnie-meri-po-realizacii-molodezhnoj-politiki-83.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/metodika-rascheta-vozmesheniya-rashodov-obrazovatelnih-i-inih-uslug-s-fizicheskimi-i-yuridicheskimi-licami.html
  • studies.bystrickaya.ru/asinhronnie-elektrodvigateli-chast-2.html
  • desk.bystrickaya.ru/pasport-1.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/ukaz-prezidenta-rossijskoj-federacii-ob-utverzhdenii-polozheniya-o-poryadke-rassmotreniya-voprosov-grazhdanstva-rossijskoj-federacii-stranica-3.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/volgodonskaya-gorodskaya-duma-stranica-6.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/romanov-vladimir-kirillovich.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-provedeniyu-korrekcionno-razvivayushih-zanyatij-po-razvitiyu-psihomotoriki-i-sensornih-processov-uchashihsya-1-4-klassov-skshi-viii-vida-stranica-2.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/pdprimnictvo-chast-26.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/o-yadovitih-peryah-shporah-i-zubah.html
  • university.bystrickaya.ru/f-m-dostoevskogo-prestuplenie-i-nakazanie.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/4-osenenie-i-ozarenie-kniga-pravoslavnogo-bogoslova-i-patrologa-doktora-filosofii-oksfordskogo-universiteta.html
  • literatura.bystrickaya.ru/reklama-kak-sredstvo-psihologicheskogo-vozdejstviya.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/ru-vserossijskaya-nauchno-prakticheskaya-konferenciya-http.html
  • thescience.bystrickaya.ru/izbiratelnaya-komissiya-irkutskoj-oblasti.html
  • esse.bystrickaya.ru/puti-stimulirovaniya-poznavatelnoj-deyatelnosti-studentov-na-uchebnom-zanyatii.html
  • report.bystrickaya.ru/izolirovannij-i-infundibulyarnij-stenoz-legochnoj-arterii-defekti-mezhpredserdnoj-peregorodki.html
  • studies.bystrickaya.ru/glava-iii-ekipazh-sudna-narushenie-trebovanij-nastoyashego-ustava-vlechet-za-soboj-disciplinarnuyu-ili-inuyu-ustanovlennuyu.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/masson-v-m-ekonomika-i-socialnij-stroj-drevnih-obshestv-v-svete-dannih-arheologii-l-nauka-1976-98-s.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/princip-skolzyashego-okna-lekciya-1-9.html
  • crib.bystrickaya.ru/ispolzovannaya-literatura-kvantovaya-priroda-izlucheniya.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.